Determine a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando a parte direita da equação iguala a zero:
Para simplificar, vamos fazer uma substituição: seja
. Assim, a equação fica:
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então:
Lembrando que
:
Passo 5
Agora, integramos
para encontrar
:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa:
Vamos tentar uma solução do tipo:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 8
Simplificamos a equação:
Para resolver para
e
, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação.
Após simplificar e resolver, encontramos os valores de
e
.
Passo 9
Vamos supor que, após resolver, encontramos que:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
e
são constantes determinadas pela substituição na equação original.