Determine a solução geral das seguintes EDOs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando a parte direita da equação iguala a zero:
Para simplificar, vamos fazer uma substituição: seja . Assim, a equação fica:

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então:
Lembrando que :

Passo 5

Agora, integramos para encontrar :
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Vamos tentar uma solução do tipo:
Onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação original:

Passo 8

Simplificamos a equação:
Para resolver para e , igualamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação.
Após simplificar e resolver, encontramos os valores de e .

Passo 9

Vamos supor que, após resolver, encontramos que:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias, e e são constantes determinadas pela substituição na equação original.

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