Resolva os seguintes PVIs: y' y'' = 2, y(0) = 1, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valor Inicial) que envolve uma equação diferencial. A equação que a gente tem é , com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação . Aqui, é a primeira derivada de em relação a , e é a segunda derivada. A gente pode notar que pode ser expresso como a derivada de . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
Isso nos dá:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Para encontrar , precisamos integrar novamente:

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou . A integral fica:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, :
Em seguida, usamos :
Então,

Resposta

A solução do PVI é:
Você também pode simplificar a expressão:

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