Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valor Inicial) que envolve uma equação diferencial. A equação que a gente tem é , com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação . Aqui, é a primeira derivada de em relação a , e é a segunda derivada. A gente pode notar que pode ser expresso como a derivada de . Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
Isso nos dá:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 4
Agora, vamos resolver para :
Para encontrar , precisamos integrar novamente:
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou . A integral fica:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .