Determine a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar usar substituições e técnicas de integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos chamar
. Com isso, a derivada de
em relação a
é
. Então, a equação original fica:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem para
:
Podemos reescrever isso multiplicando ambos os lados por
para facilitar a integração:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Despejando
, temos:
Lembrando que
, então:
Passo 6
Agora, integramos novamente para encontrar
:
A integral de
é:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.