Determine a solução geral das seguintes EDOs:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar usar substituições e técnicas de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Vamos chamar . Com isso, a derivada de em relação a é . Então, a equação original fica:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem para :
Podemos reescrever isso multiplicando ambos os lados por para facilitar a integração:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Despejando , temos:
Lembrando que , então:

Passo 6

Agora, integramos novamente para encontrar :
A integral de é:
Onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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