Determine a solução geral das seguintes EDOs: y^3 y'' = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Isso significa que estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de redução de ordem e integração. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a equação é não linear por causa do termo . Para facilitar, vamos reduzir a ordem da equação. Vamos definir uma nova variável p onde:
Isso significa que:

Passo 3

Substituindo na equação original, temos:
Ou seja:

Passo 4

Agora, como , podemos usar a regra da cadeia para escrever em termos de y:
Substituindo de volta na equação, fica:

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis:
Integrando os dois lados:
Isso resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Lembrando que , temos:

Passo 7

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Agora, para encontrar y em termos de x, precisamos separar as variáveis e integrar:
Essa integral pode não ter uma solução expressa em funções elementares, então a solução geral fica implícita.

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
onde C e são constantes de integração.

Exercícios relacionados