Determine a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Isso significa que estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de redução de ordem e integração. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos notar que a equação é não linear por causa do termo
. Para facilitar, vamos reduzir a ordem da equação. Vamos definir uma nova variável
onde:
Isso significa que:
Passo 3
Substituindo
na equação original, temos:
Ou seja:
Passo 4
Agora, como
, podemos usar a regra da cadeia para escrever
em termos de
:
Substituindo de volta na equação, fica:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis:
Integrando os dois lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Agora, para encontrar
em termos de
, precisamos separar as variáveis e integrar:
Essa integral pode não ter uma solução expressa em funções elementares, então a solução geral fica implícita.
Resposta
A solução geral da EDO é dada implicitamente por
onde
e
são constantes de integração.
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Determine a solução geral das seguintes EDOs:
Utilizando a regra cíclica e recíproca quando necessário, determine a derivada parcial
para a seguinte função de duas variáveis
obs: eu quero que use as duas identidades de derivadas parciais para concluir esta questão.
Determine a solução geral das seguintes EDOs:
Resolva os seguintes PVIs: