Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com algumas condições iniciais. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução para equações diferenciais lineares e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
Podemos dividir todos os termos por para simplificar:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja . Assim, . Substituindo na equação, fica:
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para .
Passo 3
Vamos resolver essa nova equação:
O próximo passo é encontrar o fator integrante. Ele é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que isso pode ser reescrito como:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Agora, podemos resolver para :
Lembrando que , temos:
Passo 5
Vamos integrar novamente para encontrar :
Aqui, é outra constante de integração. Então, a solução geral é:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .