Resolva os seguintes PVIs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com algumas condições iniciais. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar usar métodos de resolução para equações diferenciais lineares e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
Podemos dividir todos os termos por para simplificar:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja . Assim, . Substituindo na equação, fica:
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para .

Passo 3

Vamos resolver essa nova equação:
O próximo passo é encontrar o fator integrante. Ele é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Agora, podemos resolver para :
Lembrando que , temos:

Passo 5

Vamos integrar novamente para encontrar :
Aqui, é outra constante de integração. Então, a solução geral é:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: .
Substituindo:
Sabemos que , então:
Segunda condição: .
Primeiramente, vamos derivar :
Substituindo :

Resposta

A solução do problema é:

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