Determine a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é
. Aqui estamos trabalhando com derivadas e precisamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar técnicas de redução de ordem e separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar
de
, ou seja,
. Então, a segunda derivada
vira
, que é a derivada de
em relação a
.
Substituindo na equação original:
Passo 3
Agora, queremos expressar
em termos de
e
. Sabemos que:
Então, substituindo na equação:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Agora, temos uma equação separável com as variáveis
e
.
Passo 5
Vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Aqui,
é uma nova constante de integração.
Passo 7
Lembrando que
, temos agora:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que também é separável.
Passo 8
Vamos separar as variáveis novamente:
Integrando ambos os lados:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Vamos resolver para
:
E, finalmente:
Onde
é uma constante geral.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
e
são constantes de integração.