Determine a solução geral das seguintes EDOs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é . Aqui estamos trabalhando com derivadas e precisamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar técnicas de redução de ordem e separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação. Vamos chamar de , ou seja, . Então, a segunda derivada vira , que é a derivada de em relação a .
Substituindo na equação original:

Passo 3

Agora, queremos expressar em termos de e . Sabemos que:
Então, substituindo na equação:

Passo 4

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por (desde que ):
Agora, temos uma equação separável com as variáveis e .

Passo 5

Vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Aqui, é uma nova constante de integração.

Passo 7

Lembrando que , temos agora:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que também é separável.

Passo 8

Vamos separar as variáveis novamente:
Integrando ambos os lados:
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Vamos resolver para :
E, finalmente:
Onde é uma constante geral.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde e são constantes de integração.

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