Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com a condição inicial
. Esse exercício envolve o conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para torná-la mais simples e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Observe que
. Então, podemos reescrever a equação diferencial como:
Isso deixa a equação mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
. Multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Assim, conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
, o que facilita a integração.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito requer um pouco de manipulação. Podemos dividir
por
:
Então, a integral do lado direito fica:
Passo 5
Agora, igualamos as duas integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Vamos determinar a constante
usando a condição inicial
. Substituindo
e
na equação:
Então, a equação fica:
Passo 7
Podemos fatorar o 4 da expressão:
Para resolver para
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como a condição inicial nos dá
, escolhemos o sinal negativo.
Resposta
A solução para o problema de valor inicial é:
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Nos problemas 33-36, use o conceito de que
,
é uma função constante se e somente se
para determinar se a dada equação diferencial possui soluções constantes.
Nos problemas 33-36, use o conceito de que
,
é uma função constante se e somente se
para determinar se a dada equação diferencial possui soluções constantes.
Encontre os limites: