Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais e apresente a solução para os respectivos problemas de valor inicial (PVI): .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com a condição inicial . Esse exercício envolve o conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para torná-la mais simples e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado direito da equação. Observe que . Então, podemos reescrever a equação diferencial como:
Isso deixa a equação mais fácil de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis e . Multiplicamos ambos os lados por e por :
Assim, conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem , o que facilita a integração.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito requer um pouco de manipulação. Podemos dividir por :
Então, a integral do lado direito fica:

Passo 5

Agora, igualamos as duas integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Vamos determinar a constante usando a condição inicial . Substituindo e na equação:
Então, a equação fica:

Passo 7

Podemos fatorar o 4 da expressão:
Para resolver para , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como a condição inicial nos dá , escolhemos o sinal negativo.

Resposta

A solução para o problema de valor inicial é:

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Nos problemas 33-36, use o conceito de que , é uma função constante se e somente se para determinar se a dada equação diferencial possui soluções constantes.
Nos problemas 33-36, use o conceito de que , é uma função constante se e somente se para determinar se a dada equação diferencial possui soluções constantes.
Encontre os limites: