Nos problemas 33-36, use o conceito de que y = c, -infinito < x < infinito é uma função constante se e somente se y' = 0 para determinar se a dada equação diferencial possui soluções constantes.
y'' + 4y' + 6y = 10

Passo 1

Beleza, vamos olhar o enunciado juntos. A gente tem uma equação diferencial: . A matéria que estamos mexendo aqui é sobre equações diferenciais e, mais especificamente, queremos saber se essa equação tem soluções constantes. Para isso, vamos usar o conceito de que uma função constante tem suas derivadas iguais a zero, ou seja, e . Vamos precisar aplicar isso na equação para descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na equação diferencial. Como é uma constante, suas derivadas e são iguais a zero. Então, substituindo na equação, temos:
Aqui, simplificamos a equação sabendo que e .

Passo 3

Agora, simplificando a equação que ficou:
Para encontrar o valor de , vamos dividir os dois lados da igualdade por 6:
E simplificando a fração, temos:
Então, descobrimos que vale .

Resposta

A solução constante da equação diferencial é .

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