Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais de ordem 2
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Para isso, vamos utilizar o método das equações homogêneas com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar as raízes da equação característica associada para determinar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica da equação diferencial dada. A equação característica é obtida substituindo
por
, onde
é uma constante a ser encontrada:
Passo 3
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Passo 4
Como o discriminante
é negativo, as raízes da equação característica serão complexas. Nesse caso, as raízes têm a forma:
onde:
Passo 5
Com as raízes complexas
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: