Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais de ordem 2
y'' + 2y' + 7y = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem . Para isso, vamos utilizar o método das equações homogêneas com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar as raízes da equação característica associada para determinar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica da equação diferencial dada. A equação característica é obtida substituindo por , onde é uma constante a ser encontrada:

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante ( ):

Passo 4

Como o discriminante é negativo, as raízes da equação característica serão complexas. Nesse caso, as raízes têm a forma:
onde:

Passo 5

Com as raízes complexas , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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