Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular. Precisamos lembrar como assumir uma forma para
com base no lado direito da equação e ajustar os coeficientes para que tudo funcione direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução da equação homogênea associada, ou seja,
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é
, assumimos uma forma para
:
Aqui,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos de
e
:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes de
e
de ambos os lados:
Passo 7
Resolvemos esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 8
Com
e
, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: