Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
y'' - 3y' + 2y = sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular. Precisamos lembrar como assumir uma forma para com base no lado direito da equação e ajustar os coeficientes para que tudo funcione direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução da equação homogênea associada, ou seja, . Para isso, resolvemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é , assumimos uma forma para :
Aqui, e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 5

Substituímos , e na equação original:
Simplificando os termos:
Agrupando os termos de e :

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes de e de ambos os lados:

Passo 7

Resolvemos esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:

Passo 8

Com e , a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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