Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
y'' + 16y = 0, y(pi) = -3 e y' (pi) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial aqui, que pertence à matéria de equações diferenciais. Basicamente, temos uma equação diferencial do segundo grau: , junto com duas condições iniciais: e . Vamos precisar resolver essa equação para encontrar a função que satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, usamos a tal das equações características. A equação característica dessa diferencial é .

Passo 3

Resolvendo a equação característica , a gente encontra as raízes complexas. Subtraindo 16 de ambos os lados: , então . Essas raízes indicam que a solução geral será uma combinação de funções trigonométricas.

Passo 4

Com as raízes , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :
Sabemos que e , então:
Agora, vamos derivar para usar a segunda condição :
Aplicando :
Sabendo que e :

Resposta

A solução do problema é:

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