Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial aqui, que pertence à matéria de equações diferenciais. Basicamente, temos uma equação diferencial do segundo grau:
, junto com duas condições iniciais:
e
. Vamos precisar resolver essa equação para encontrar a função
que satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, usamos a tal das equações características. A equação característica dessa diferencial é
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, a gente encontra as raízes complexas. Subtraindo 16 de ambos os lados:
, então
. Essas raízes indicam que a solução geral será uma combinação de funções trigonométricas.
Passo 4
Com as raízes
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, :
Primeiro,
Sabemos que
e
, então:
Agora, vamos derivar
para usar a segunda condição
:
Aplicando
:
Sabendo que
e
:
Resposta
A solução do problema é: