Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais de ordem 2
y'' + 4y' = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação utilizando conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas. Para isso, precisaremos determinar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos encontrar. Essa forma nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos substituir na equação diferencial:
Substituindo , e na equação original:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero, temos:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica :
Isso nos dá duas raízes:

Passo 5

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo as raízes encontradas:
Simplificando :

Resposta

A solução geral é , onde e são constantes arbitrárias.

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