Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais de ordem 2
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação utilizando conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas. Para isso, precisaremos determinar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Essa forma nos ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos substituir
na equação diferencial:
Substituindo
,
e
na equação original:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, temos:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica
:
Isso nos dá duas raízes:
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo as raízes encontradas:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral é
, onde
e
são constantes arbitrárias.