Usando o método da variação dos parâmetros encontre uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
y'' - 4y' + 4y = x e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:

O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Lineares e vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular. Precisaremos também encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:

Para isso, fazemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:

Temos uma raiz dupla: .

Passo 3

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:

Aqui, e são constantes que a gente vai determinar mais tarde.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Como o lado direito é e isso já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por x para evitar duplicação:

Onde A e B são constantes a serem encontradas.

Passo 5

Vamos supor que:

Calculamos as derivadas necessárias:

Simplificando:

Passo 6

Substituímos , , e na equação original:

Substituindo:
Simplificando os termos:

Os termos com :
Os termos com x:

Termos constantes:
Assim, temos:

Passo 7

Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para x:

Para os termos constantes:

Passo 8

Agora que temos e , a solução particular é:

Podemos simplificar:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Onde e são constantes arbitrárias.

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