Usando o método da variação dos parâmetros encontre uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Lineares e vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular. Precisaremos também encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, fazemos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla:
Passo 3
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Como o lado direito é
e isso já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar duplicação:
Onde
Passo 5
Vamos supor que:
Calculamos as derivadas necessárias:
Simplificando:
Passo 6
Substituímos
,
, e
na equação original:
Substituindo:
Simplificando os termos:
Os termos com
Os termos com
:
Termos constantes:
Assim, temos:
Passo 7
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para
Para os termos constantes:
Passo 8
Agora que temos
e
, a solução particular é:
Podemos simplificar:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde