Escreva a solução do problema de valor inicial
na forma
e então esboce o gráfico cartesiano de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
O objetivo é encontrar a solução dessa equação na forma:
Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para isso, vamos encontrar a equação característica associada, que é:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Encontramos raízes complexas:
. Isso significa que a solução geral da equação diferencial será do tipo:
Onde
e
.
Passo 3
Dessa forma, a solução geral fica:
Queremos expressar essa solução na forma:
Comparando as duas expressões, vemos que:
-
-
-
e são amplitudes e fase, respectivamente, que dependem das constantes e .
Podemos reescrever a solução geral usando a identidade trigonométrica para uma combinação de seno e cosseno:
Onde:
E:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo na solução:
Sabendo que
, temos:
Como
, devemos ter:
Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Substituindo
:
Como
, temos:
Se
:
Mas
representa uma amplitude, então consideramos o valor positivo:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Simplificando:
O gráfico cartesiano de
exibirá uma função senoidal que oscila com amplitude decrescente devido ao termo
, e a frequência de oscilação é determinada por
.