Escreva a solução do problema de valor inicial
y'' + 2y' + 5y = 0, y(pi/2) = 0, y'(pi/2) = 1
na forma
y = R e^(sigma x) sen(wx + phi)
e então esboce o gráfico cartesiano de y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
O objetivo é encontrar a solução dessa equação na forma:
Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para isso, vamos encontrar a equação característica associada, que é:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Encontramos raízes complexas: . Isso significa que a solução geral da equação diferencial será do tipo:
Onde e .

Passo 3

Dessa forma, a solução geral fica:
Queremos expressar essa solução na forma:
Comparando as duas expressões, vemos que:
  • e são amplitudes e fase, respectivamente, que dependem das constantes e .
Podemos reescrever a solução geral usando a identidade trigonométrica para uma combinação de seno e cosseno:
Onde:
E:

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo na solução:
Sabendo que , temos:
Como , devemos ter:
Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada de :
Substituindo :
Como , temos:
Se :
Mas representa uma amplitude, então consideramos o valor positivo:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Simplificando:
O gráfico cartesiano de exibirá uma função senoidal que oscila com amplitude decrescente devido ao termo , e a frequência de oscilação é determinada por .

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