Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
y'' - 4 y' + 8 y = 2 e^(2 x) + sen(2 x)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Para resolver isso, precisamos encontrar uma solução particular para o lado direito da equação e depois juntar com a solução geral da equação homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução geral dessa equação é baseada nas raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica correspondente é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:

Passo 5

Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a solução particular para a equação original. Como o lado direito é , vamos considerar cada termo separadamente.

Passo 7

Primeiro, para o termo , assumimos uma solução da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 8

Derivando :
Substituindo na equação diferencial:
Igualando ao termo correspondente :
Então,

Passo 9

Agora, para o termo , como já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por para evitar a duplicação. Assim, assumimos:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 10

Derivando :
Simplificando:

Passo 11

Substituindo , e na equação diferencial:
Após simplificar, igualamos os coeficientes de e para encontrar e .

Passo 12

Após os cálculos, encontramos:
Então,

Passo 13

A solução particular completa é a soma das partes encontradas:

Passo 14

Por fim, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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