Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Para resolver isso, precisamos encontrar uma solução particular para o lado direito da equação e depois juntar com a solução geral da equação homogênea associada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução geral dessa equação é baseada nas raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica correspondente é:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Passo 5
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação original. Como o lado direito é
, vamos considerar cada termo separadamente.
Passo 7
Primeiro, para o termo
, assumimos uma solução da forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 8
Derivando
:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando ao termo correspondente
:
Então,
Passo 9
Agora, para o termo
, como já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar a duplicação. Assim, assumimos:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 10
Derivando
:
Simplificando:
Passo 11
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Após simplificar, igualamos os coeficientes de
e
para encontrar
e
.
Passo 12
Após os cálculos, encontramos:
Então,
Passo 13
A solução particular completa é a soma das partes encontradas:
Passo 14
Por fim, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: