Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
Passo 1
Beleza, temos um exercício de Equações Diferenciais, especificamente usando o método dos coeficientes indeterminados. Precisamos encontrar uma solução particular para a equação diferencial
e, depois, determinar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, usamos a equação característica.
Passo 3
A equação característica é formada substituindo
por
. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, supomos uma solução da forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Igualando os coeficientes:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: