Usando o método dos coeficientes indeterminados determine uma solução particular para as seguintes equações diferenciais. Determine a solução geral.
y'' - 2y' - 3y = e^(4x)

Passo 1

Beleza, temos um exercício de Equações Diferenciais, especificamente usando o método dos coeficientes indeterminados. Precisamos encontrar uma solução particular para a equação diferencial e, depois, determinar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, usamos a equação característica.

Passo 3

A equação característica é formada substituindo por . Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , supomos uma solução da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculando as derivadas de :

Passo 8

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 9

Igualando os coeficientes:

Passo 10

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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