Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais de ordem 2
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem que a gente tem aqui:
O que a gente vai usar pra resolver isso é a teoria das equações diferenciais lineares de ordem 2 com coeficientes constantes. Basicamente, vamos procurar a solução geral dessa equação encontrando as raízes da chamada equação característica.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma essa equação diferencial numa equação característica. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso, temos
e
, então fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais:
Passo 4
Com as raízes iguais
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: