Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais de ordem 2
y'' + 6y' + 9y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem que a gente tem aqui:
O que a gente vai usar pra resolver isso é a teoria das equações diferenciais lineares de ordem 2 com coeficientes constantes. Basicamente, vamos procurar a solução geral dessa equação encontrando as raízes da chamada equação característica.

Passo 2

Primeiro, a gente transforma essa equação diferencial numa equação característica. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso, temos e , então fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais:

Passo 4

Com as raízes iguais , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo , temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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