Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
y'' + 3y' + 2y = 0, y(0) = 1 e y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. O enunciado nos dá a equação e as condições iniciais e . Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, encontrar as raízes da equação característica e aplicar as condições iniciais para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. Para isso, substituímos por , por e por 1. Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos fatorar a equação:
Portanto, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos raízes reais e distintas, a solução geral é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial . Substituindo na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
çã

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial . Primeiro, calculamos a derivada da solução geral:
Substituindo :
Podemos reescrever isso como:
çã

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
çãçã
Vamos resolver subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz as condições iniciais é:

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