Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. O enunciado nos dá a equação
e as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, encontrar as raízes da equação característica e aplicar as condições iniciais para achar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial dada. Para isso, substituímos
por
,
por
e
por 1. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos fatorar a equação:
Portanto, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos raízes reais e distintas, a solução geral é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial
. Primeiro, calculamos a derivada da solução geral:
Substituindo
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz as condições iniciais é: