Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
no intervalo
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Para isso, escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Aqui, vamos usar o método de variação das constantes (ou parâmetros). Esse método nos permite encontrar uma solução específica quando o termo não homogêneo não é da forma das soluções da homogênea.
Assumimos que a solução particular tem a forma:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 4
Para encontrar
e
, derivamos
:
Impondo a condição
de forma que os termos com
e
simplifiquem, estabelecemos:
E substituímos na equação original para encontrar outra equação envolvendo
e
.
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações obtido, encontramos:
onde
é o Wronskiano das soluções homogêneas, que neste caso é
.
Simplificando:
Passo 6
Integrando
e
:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração
e
.
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.