Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial no intervalo . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com um termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Aqui, vamos usar o método de variação das constantes (ou parâmetros). Esse método nos permite encontrar uma solução específica quando o termo não homogêneo não é da forma das soluções da homogênea.
Assumimos que a solução particular tem a forma:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 4

Para encontrar e , derivamos :
Impondo a condição de forma que os termos com e simplifiquem, estabelecemos:
E substituímos na equação original para encontrar outra equação envolvendo e .

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações obtido, encontramos:
onde é o Wronskiano das soluções homogêneas, que neste caso é .
Simplificando:

Passo 6

Integrando e :
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração e .

Passo 7

Substituindo e na expressão de :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Determine o domínio das seguintes funções:
(b)
Determine o domínio das seguintes funções:
(e)
A meia-vida do paládio-100, , é quatro dias. (Assim, metade de qualquer quantidade dada de se desintegrará em quatro dias.) A massa inicial de uma amostra é uma grama.
(d) Quando a massa se reduzirá a ?
Calcule e para a função definida por partes e esboce o gráfico da função:
(b)