A meia-vida do paládio-100, , é quatro dias. (Assim, metade de qualquer quantidade dada de se desintegrará em quatro dias.) A massa inicial de uma amostra é uma grama.
(d) Quando a massa se reduzirá a ?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma amostra de paládio-100 ( ) que começa com 1 grama. A meia-vida desse elemento é de 4 dias, o que significa que a cada 4 dias, metade da quantidade original se desintegra. A pergunta é: depois de quantos dias a massa vai diminuir para 0,01 grama? Para resolver isso, vamos usar a fórmula de decaimento exponencial que relaciona a quantidade restante com o tempo e a meia-vida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula do decaimento exponencial. Ela é:
Aqui,
  • é a quantidade de substância restante após o tempo ,
  • é a quantidade inicial,
  • é a meia-vida,
  • é o tempo que passou.

Passo 3

Sabemos que , e . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o tempo . Primeiro, dividimos ambos os lados por 1 (que não muda nada):
Para eliminar a potência, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:

Passo 5

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , temos:
Agora, isolamos :

Passo 6

Calculando os logaritmos:
Substituindo na equação para :

Resposta

A massa de paládio-100 se reduzirá para 0,01 grama após aproximadamente 26,56 dias.

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Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
b)
Determine o domínio das seguintes funções:
(b)
Calcule e para a função definida por partes e esboce o gráfico da função:
(b)