A meia-vida do paládio-100,
, é quatro dias. (Assim, metade de qualquer quantidade dada de
se desintegrará em quatro dias.) A massa inicial de uma amostra é uma grama.
(d) Quando a massa se reduzirá a
?
(d) Quando a massa se reduzirá a
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma amostra de paládio-100 (
) que começa com 1 grama. A meia-vida desse elemento é de 4 dias, o que significa que a cada 4 dias, metade da quantidade original se desintegra. A pergunta é: depois de quantos dias a massa vai diminuir para 0,01 grama? Para resolver isso, vamos usar a fórmula de decaimento exponencial que relaciona a quantidade restante com o tempo e a meia-vida.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula do decaimento exponencial. Ela é:
Aqui,
-
é a quantidade de substância restante após o tempo , -
é a quantidade inicial, -
é a meia-vida, -
é o tempo que passou.
Passo 3
Sabemos que
,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o tempo
. Primeiro, dividimos ambos os lados por 1 (que não muda nada):
Para eliminar a potência, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
Passo 5
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, temos:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Calculando os logaritmos:
Substituindo na equação para
:
Resposta
A massa de paládio-100 se reduzirá para 0,01 grama após aproximadamente 26,56 dias.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
b)
b)
Determine o domínio das seguintes funções:
(b)
(b)
Calcule
e
para a função definida por partes e esboce o gráfico da função:
(b)
(b)