Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais: e

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Aqui, trabalharemos com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar utilizar o método das equações de Cauchy-Euler e encontrar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial em uma forma mais simples dividindo todos os termos por :
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem.

Passo 3

Observamos que a equação é não homogênea devido ao termo constante do lado direito. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada ( ) e uma solução particular ( ) da equação completa:

Passo 4

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
Esta é uma equação de Cauchy-Euler, que tem a forma geral . Para resolver, assumimos uma solução da forma .

Passo 5

Assumindo , calculamos as derivadas necessárias:

Passo 6

Substituímos , e na equação homogênea:
Simplificando:

Passo 7

A equação característica resultante é:
Resolvendo para :

Passo 8

Portanto, as soluções da equação homogênea são:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 9

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular da forma . Inicialmente, tentamos .

Passo 10

Assumindo , temos:
Substituindo na equação:
Isso não resolve para todos os , então precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 11

Como a tentativa anterior não funcionou, tentamos uma solução particular multiplicando por onde já não é uma raiz da equação característica. Observamos que já é uma raiz, então multiplicamos por e tentamos:

Passo 12

Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:

Passo 13

Assim, a solução particular é:

Passo 14

A solução geral da equação não homogênea é:

Passo 15

Aplicamos as condições iniciais para determinar e .
Primeiro, :

Passo 16

Calculamos a derivada de :
Aplicando :

Passo 17

Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo em :

Resposta

A solução geral da equação diferencial com as condições dadas é:

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Resolva:
6.2.
Sejam duas funções diferenciais e uma função diferenciável. Mostre que .
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Resolva:
6.7.