Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
e
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Aqui, trabalharemos com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar utilizar o método das equações de Cauchy-Euler e encontrar tanto a solução geral da equação homogênea quanto uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial em uma forma mais simples dividindo todos os termos por
:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem.
Passo 3
Observamos que a equação é não homogênea devido ao termo constante
do lado direito. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada (
) e uma solução particular (
) da equação completa:
Passo 4
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
Esta é uma equação de Cauchy-Euler, que tem a forma geral
. Para resolver, assumimos uma solução da forma
.
Passo 5
Assumindo
, calculamos as derivadas necessárias:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação homogênea:
Simplificando:
Passo 7
A equação característica resultante é:
Resolvendo para
:
Passo 8
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 9
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular da forma
. Inicialmente, tentamos
.
Passo 10
Assumindo
, temos:
Substituindo na equação:
Isso não resolve para todos os
, então precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 11
Como a tentativa anterior não funcionou, tentamos uma solução particular multiplicando por
onde
já não é uma raiz da equação característica. Observamos que
já é uma raiz, então multiplicamos por
e tentamos:
Passo 12
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Passo 13
Assim, a solução particular é:
Passo 14
A solução geral da equação não homogênea é:
Passo 15
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro,
:
Passo 16
Calculamos a derivada de
:
Aplicando
:
Passo 17
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo em
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial com as condições dadas é:
Exercícios relacionados
Resolva:
6.2.
6.2.
Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Resolva:
6.7.
6.7.