Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo que envolve derivadas de funções vetoriais. Temos duas funções diferenciais
e uma função diferenciável
. Nosso objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar a regra do produto para derivadas, que nos ajuda a derivar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que temos aqui.
é uma função escalar (ou seja, retorna apenas um número real) e
é uma função vetorial que retorna um vetor em
. Quando multiplicamos essas duas funções, estamos escalando o vetor
pelo valor de
.
Passo 3
Agora, para derivar o produto
, usamos a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Em fórmulas, isso é:
Aqui,
corresponde a
e
corresponde a
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto ao nosso caso:
Isso mostra que a derivada do produto de
e
é igual à derivada de
vezes
mais
vezes a derivada de
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.8.
5.8.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Resolva:
6.2.
6.2.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
e