Sejam duas funções diferenciais e uma função diferenciável. Mostre que .

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo que envolve derivadas de funções vetoriais. Temos duas funções diferenciais e uma função diferenciável . Nosso objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar a regra do produto para derivadas, que nos ajuda a derivar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que temos aqui. é uma função escalar (ou seja, retorna apenas um número real) e é uma função vetorial que retorna um vetor em . Quando multiplicamos essas duas funções, estamos escalando o vetor pelo valor de .

Passo 3

Agora, para derivar o produto , usamos a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Em fórmulas, isso é:
Aqui, corresponde a e corresponde a .

Passo 4

Aplicando a regra do produto ao nosso caso:
Isso mostra que a derivada do produto de e é igual à derivada de vezes mais vezes a derivada de .

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.8.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Resolva:
6.2.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais: e