Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação
para
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares, especificamente a fator integrante para equações de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. Dividimos ambos os lados por
para deixar a equação na forma padrão:
Agora, vamos fazer uma substituição para reduzir a equação de segunda ordem para uma de primeira ordem. Seja
, então
. Substituindo na equação:
Passo 3
Temos agora uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma
, onde:
Para resolver isso, vamos usar a fator integrante, que é dada por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante
:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Para simplificar, podemos escrever:
Passo 7
Lembrando que
, temos:
Agora, precisamos integrar
para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Podemos simplificar cada termo separadamente:
-
Para
, fazemos divisão polinomial: -
Para
: -
O termo
permanece como está.
Passo 9
Integrando termo a termo:
-
Integra de
: -
Integra de
: -
Integra de
:
Usamos a substituição, então : -
Integra de
: -
Integra de
:
Usamos substituição novamente: -
Integra de
:
Passo 10
Juntando todas as integrações:
Simplificando e combinando constantes:
Podemos combinar os termos semelhantes para simplificar ainda mais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
e
Resolva:
6.2.
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Resolva:
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Resolva:
6.12.
6.12.