Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação para . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares, especificamente a fator integrante para equações de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a resolução. Dividimos ambos os lados por para deixar a equação na forma padrão:
Agora, vamos fazer uma substituição para reduzir a equação de segunda ordem para uma de primeira ordem. Seja , então . Substituindo na equação:

Passo 3

Temos agora uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma , onde:
Para resolver isso, vamos usar a fator integrante, que é dada por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante :
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :
Para simplificar, podemos escrever:

Passo 7

Lembrando que , temos:
Agora, precisamos integrar para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Podemos simplificar cada termo separadamente:
  1. Para , fazemos divisão polinomial:
  2. Para :
  3. O termo permanece como está.

Passo 9

Integrando termo a termo:
  1. Integra de :
  2. Integra de :
  3. Integra de :
    Usamos a substituição , então :
  4. Integra de :
  5. Integra de :
    Usamos substituição novamente:
  6. Integra de :

Passo 10

Juntando todas as integrações:
Simplificando e combinando constantes:
Podemos combinar os termos semelhantes para simplificar ainda mais:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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