Resolva:
6.2.
6.2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace de
. Aqui, o asterisco (*) representa a convolução entre as funções
e
. Para isso, vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace relacionadas à convolução. Precisamos lembrar das fórmulas de Transformada de Laplace para funções básicas e da propriedade que relaciona a convolução no domínio do tempo com o produto das transformadas no domínio de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução
é definida como:
No entanto, para facilitar nosso cálculo, vamos usar uma propriedade importante da Transformada de Laplace que diz que a Transformada da convolução de duas funções é igual ao produto das suas Transformadas de Laplace individuais:
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções que estamos convoluindo. Temos
e
. Precisamos encontrar as Transformadas de Laplace dessas duas funções separadamente.
Primeiro, para
:
Essa é uma Transformada básica que todo mundo já deve ter vista.
Passo 4
Segundo, para
:
Essa também é uma Transformada de Laplace padrão para uma função exponencial.
Passo 5
Agora, aplicando a propriedade da convolução que mencionamos no Passo 2, temos:
Multiplicando as duas frações, obtemos:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Sejam
duas funções diferenciais e
uma função diferenciável. Mostre que
.
Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.8.
5.8.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
e
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais: