Resolva:
6.2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace de . Aqui, o asterisco (*) representa a convolução entre as funções e . Para isso, vamos usar as propriedades da Transformada de Laplace relacionadas à convolução. Precisamos lembrar das fórmulas de Transformada de Laplace para funções básicas e da propriedade que relaciona a convolução no domínio do tempo com o produto das transformadas no domínio de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução é definida como:
No entanto, para facilitar nosso cálculo, vamos usar uma propriedade importante da Transformada de Laplace que diz que a Transformada da convolução de duas funções é igual ao produto das suas Transformadas de Laplace individuais:

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções que estamos convoluindo. Temos e . Precisamos encontrar as Transformadas de Laplace dessas duas funções separadamente.
Primeiro, para :
Essa é uma Transformada básica que todo mundo já deve ter vista.

Passo 4

Segundo, para :
Essa também é uma Transformada de Laplace padrão para uma função exponencial.

Passo 5

Agora, aplicando a propriedade da convolução que mencionamos no Passo 2, temos:
Multiplicando as duas frações, obtemos:

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Sejam duas funções diferenciais e uma função diferenciável. Mostre que .
Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.8.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais: e
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais: