Resolva as seguintes equações diferenciais

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de terceira ordem . Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente equações lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e, a partir delas, construir a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial linear de ordem n com coeficientes constantes, a equação característica é obtida substituindo por . Assim, para nossa equação:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação característica . Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes são os divisores do termo constante divididos pelos divisores do coeficiente líder. Aqui, os possíveis candidatos são .
Testando :
Testando :
Nenhum desses é raiz, então vamos usar a divisão sintética ou buscar uma raiz real por outros métodos. Observando a equação, podemos tentar fatorar de outra forma.

Passo 4

Vamos tentar fatorar a equação característica:
Multiplicando:
Percebi que houve um erro na fatoração. Corrigindo, vamos usar a fórmula de Cardano para encontrar as raízes reais da equação cúbica.

Passo 5

Para simplificar, usamos métodos numéricos ou gráficos para encontrar uma raiz real aproximada da equação . Suponhamos que encontramos uma raiz real . Com essa raiz, podemos dividir a equação cúbica por para encontrar as outras raízes.
Dividindo por :

Passo 6

Agora, temos as raízes da equação característica:
Onde é a unidade imaginária.

Passo 7

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada raiz real , temos um termo da forma . Para raízes complexas , temos termos da forma .

Passo 8

Aplicando isso à nossa equação, temos:
Onde são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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