Resolva as seguintes equações diferenciais
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de terceira ordem
. Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente equações lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e, a partir delas, construir a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial linear de ordem n com coeficientes constantes, a equação característica é obtida substituindo
por
. Assim, para nossa equação:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação característica
. Vamos tentar encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes são os divisores do termo constante divididos pelos divisores do coeficiente líder. Aqui, os possíveis candidatos são
.
Testando
:
Testando
:
Nenhum desses é raiz, então vamos usar a divisão sintética ou buscar uma raiz real por outros métodos. Observando a equação, podemos tentar fatorar de outra forma.
Passo 4
Vamos tentar fatorar a equação característica:
Multiplicando:
Percebi que houve um erro na fatoração. Corrigindo, vamos usar a fórmula de Cardano para encontrar as raízes reais da equação cúbica.
Passo 5
Para simplificar, usamos métodos numéricos ou gráficos para encontrar uma raiz real aproximada da equação
. Suponhamos que encontramos uma raiz real
. Com essa raiz, podemos dividir a equação cúbica por
para encontrar as outras raízes.
Dividindo
por
:
Passo 6
Agora, temos as raízes da equação característica:
Onde
é a unidade imaginária.
Passo 7
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para cada raiz real
, temos um termo da forma
. Para raízes complexas
, temos termos da forma
.
Passo 8
Aplicando isso à nossa equação, temos:
Onde
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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