Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da variação dos parâmetros. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares de primeira ordem e como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão:
. Aqui,
e
. Esse é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, usamos um fator integrante. Calculamos o fator integrante
que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação homogênea pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
usando a variaç��o dos parâmetros. Assumimos que
, onde
é uma função que precisamos determinar.
Passo 6
Derivamos
:
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando, temos:
Então:
Passo 7
Integrando
:
Fazendo a substituição
,
, então:
Passo 8
Agora, temos a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Resolva as seguintes equações diferenciais
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