Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método da variação dos parâmetros. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares de primeira ordem e como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão: . Aqui, e . Esse é um caso de equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, usamos um fator integrante. Calculamos o fator integrante que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação homogênea pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando a variaç��o dos parâmetros. Assumimos que , onde é uma função que precisamos determinar.

Passo 6

Derivamos :
Substituímos e na equação original:
Simplificando, temos:
Então:

Passo 7

Integrando :
Fazendo a substituição , , então:

Passo 8

Agora, temos a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Resolva as seguintes equações diferenciais
Resolva as seguintes equações diferenciais