Resolva as seguintes equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada a essa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica substituindo
por
. Assim, a equação
vira:
Essa equação nos ajudará a encontrar os valores de
que determinam a solução geral da equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Vamos tentar fatorar polinômios de menor grau. Por tentativa e erro, encontramos que
é uma raiz da equação. Então, podemos dividir o polinômio por
:
Passo 4
Vamos resolver agora a equação cúbica
. Testando novamente valores simples, descobrimos que
é uma raiz. Assim, podemos fatorar mais:
E percebemos que
pode ser fatorado como
, então:
Passo 5
Agora, temos todas as raízes da equação característica:
-
(multiplicidade 3) -
(multiplicidade 1)
Passo 6
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz contribui com uma parte da solução:
- Para
: - Para
(com multiplicidade 3): , ,
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
,
,
e
são constantes arbitrárias.
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