Resolva as seguintes equações diferenciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada a essa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica substituindo por . Assim, a equação vira:
Essa equação nos ajudará a encontrar os valores de que determinam a solução geral da equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Vamos tentar fatorar polinômios de menor grau. Por tentativa e erro, encontramos que é uma raiz da equação. Então, podemos dividir o polinômio por :

Passo 4

Vamos resolver agora a equação cúbica . Testando novamente valores simples, descobrimos que é uma raiz. Assim, podemos fatorar mais:
E percebemos que pode ser fatorado como , então:

Passo 5

Agora, temos todas as raízes da equação característica:
  • (multiplicidade 3)
  • (multiplicidade 1)

Passo 6

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz contribui com uma parte da solução:
  • Para :
  • Para (com multiplicidade 3): , ,

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde , , e são constantes arbitrárias.

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