Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar o método da solução homogênea seguido da solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida retirando o termo não homogêneo da equação original:

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica associada. Substituímos na equação homogênea:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:

Passo 5

Como a equação característica possui uma raiz dupla , a solução geral da homogênea é dada por:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) da equação completa . Observamos que o termo já está presente na solução homogênea, então precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular adequada. Assumimos:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :

Passo 8

Substituímos , e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 9

Finalmente, substituímos o valor de na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais
Resolva as seguintes equações diferenciais
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.