Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar o método da solução homogênea seguido da solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida retirando o termo não homogêneo da equação original:
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, encontramos a equação característica associada. Substituímos
na equação homogênea:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Passo 5
Como a equação característica possui uma raiz dupla
, a solução geral da homogênea é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa
. Observamos que o termo
já está presente na solução homogênea, então precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular adequada. Assumimos:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 9
Finalmente, substituímos o valor de
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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