Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante e encontrar soluções particulares para os termos e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa equação simples pode ser resolvida separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é a soma de e , vamos encontrar soluções particulares para cada termo separadamente.
Para correspondente a :
Assumimos uma solução da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
Logo, a solução particular para é:
Para correspondente a :
Assumimos uma solução da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Logo, a solução particular para é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com as soluções particulares encontradas:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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