Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante e encontrar soluções particulares para os termos e
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa equação simples pode ser resolvida separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é a soma de e
, vamos encontrar soluções particulares para cada termo separadamente.
Para
correspondente a :
Assumimos uma solução da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
Logo, a solução particular para é:
Para
correspondente a
:
Assumimos uma solução da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Logo, a solução particular para
é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com as soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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