Resolva as seguintes equações diferenciais

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para resolver uma equação diferencial de quarta ordem:
Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Coeficientes Constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as soluções da equação característica associada e, com base nela, construir a solução geral da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial em uma equação característica. Para isso, substituímos cada derivada de por elevado à potência correspondente. Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação polinomial de quarto grau para encontrar os valores de . Esses valores nos ajudarão a construir a solução geral da equação diferencial.
Vamos tentar fatorar o polinômio. Vamos procurar raízes inteiras usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos para são os divisores de 1, que são .
Testando :
Não zero, então não é uma raiz. Vamos tentar decompor o polinômio de outra forma.

Passo 4

Vamos tentar fatorar o polinômio como um produto de quadrados. Suponha que:
Multiplicando os dois binômios:
Comparando com o polinômio original:
Dado que , as possíveis combinações são e ou e . Vamos tentar e :
Com e , as soluções para e são 1 e 1. Então, temos:

Passo 5

Agora, sabemos que a equação característica é:
Isso significa que as raízes são duplas e iguais às raízes de . Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e :
Então, as raízes são complexas conjugadas:

Passo 6

Como cada raiz tem multiplicidade 2, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo e :
Onde são constantes que podem ser determinadas a partir de condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde são constantes arbitrárias.

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