Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem: . No nosso caso, temos:
Então, e .

Passo 3

O método da variação dos parâmetros envolve encontrar uma solução particular da equação diferencial. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada: .

Passo 4

Resolvendo a equação homogênea:
Isso é uma equação linear homogênea. Podemos resolver usando um fator integrante. Calculamos o fator integrante :

Passo 5

Multiplicando a equação homogênea pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 6

Agora, para encontrar a solução particular usando a variação dos parâmetros, assumimos que não é constante, mas uma função de , ou seja, .

Passo 7

Calculamos :
Substituindo e na equação diferencial original:
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo para :
Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante de integração. Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante, então:

Passo 9

A solução particular é então:

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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