Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso está dentro do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
. No nosso caso, temos:
Então,
e
.
Passo 3
O método da variação dos parâmetros envolve encontrar uma solução particular da equação diferencial. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
.
Passo 4
Resolvendo a equação homogênea:
Isso é uma equação linear homogênea. Podemos resolver usando um fator integrante. Calculamos o fator integrante
:
Passo 5
Multiplicando a equação homogênea pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 6
Agora, para encontrar a solução particular usando a variação dos parâmetros, assumimos que
não é constante, mas uma função de
, ou seja,
.
Passo 7
Calculamos
:
Substituindo
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo para
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é uma constante de integração. Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar a constante, então:
Passo 9
A solução particular
é então:
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução da homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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