Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo todos os termos por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação característica :
Calculamos o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos raízes iguais:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o termo do lado direito é , tentamos uma solução da forma:
onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na equação completa:
Então, .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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