Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo todos os termos por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
:
Calculamos o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos raízes iguais:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa:
Como o termo do lado direito é
, tentamos uma solução da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação completa:
Então,
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Resolva as seguintes equações diferenciais
Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.
Encontre
quando
,
.
Use a transformada de Laplace para mostrar que a solução do problema de valor inicial
é dada pela fórmula de variação das constantes