Use a transformada de Laplace para mostrar que a solução do problema de valor inicial
d yd t=k y+q(t), y(0)=y0
é dada pela fórmula de variação das constantes
y(t)=e^k t y0+integral0^t e^k(t-tau) q(tau) d tau

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
dydt = k y + q(t), y(0) = y0
O objetivo é mostrar, usando a transformada de Laplace, que a solução dessa equação é dada pela fórmula de variação das constantes:
y(t) = e^k t y0 + integral0^t e^k(t-tau) q(tau) dtau
Para resolver isso, vamos precisar entender a transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace de dydt é s Y(s) - y(0), onde Y(s) é a transformada de y(t). Então, transformando a equação:
s Y(s) - y0 = k Y(s) + Q(s)
Aqui, Q(s) é a transformada de Laplace de q(t).

Passo 3

Agora, vamos resolver para Y(s). Subtraímos k Y(s) de ambos os lados:
s Y(s) - k Y(s) = y0 + Q(s)
Fatoramos Y(s):
Y(s) (s - k) = y0 + Q(s)
Então, isolamos Y(s):
Y(s) = y0s - k + Q(s)s - k

Passo 4

Para encontrar y(t), precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace em Y(s). Sabemos que:
L^-1 1s - k = e^k t
E, pela propriedade de convolução:
L^-1 Q(s)s - k = integral0^t e^k(t - tau) q(tau) dtau

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = e^k t y0 + integral0^t e^k(t-tau) q(tau) d tau

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