Use a transformada de Laplace para mostrar que a solução do problema de valor inicial
é dada pela fórmula de variação das constantes

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
O objetivo é mostrar, usando a transformada de Laplace, que a solução dessa equação é dada pela fórmula de variação das constantes:
Para resolver isso, vamos precisar entender a transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace de é , onde é a transformada de . Então, transformando a equação:
Aqui, é a transformada de Laplace de .

Passo 3

Agora, vamos resolver para . Subtraímos de ambos os lados:
Fatoramos :
Então, isolamos :

Passo 4

Para encontrar , precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace em . Sabemos que:
E, pela propriedade de convolução:

Resposta

A solução do problema é:

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Encontre quando , .
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:
Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais: