Use a transformada de Laplace para mostrar que a solução do problema de valor inicial
é dada pela fórmula de variação das constantes
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
O objetivo é mostrar, usando a transformada de Laplace, que a solução dessa equação é dada pela fórmula de variação das constantes:
Para resolver isso, vamos precisar entender a transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace de
é
, onde
é a transformada de
. Então, transformando a equação:
Aqui,
é a transformada de Laplace de
.
Passo 3
Agora, vamos resolver para
. Subtraímos
de ambos os lados:
Fatoramos
:
Então, isolamos
:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace em
. Sabemos que:
E, pela propriedade de convolução:
Resposta
A solução do problema é:
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Encontre
quando
,
.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:
Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais: