Resolva as seguintes equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de EDOs lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como montar e resolver a equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma EDO linear de ordem 4 como essa, substituímos
por
, resultando na equação polinomial:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação polinomial para encontrar os valores de
. Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos sugere testar divisores de 32. Testando, descobrimos que
é uma raiz, pois:
Passo 4
Com a raiz
encontrada, podemos fatorar a equação polinomial dividindo por
. Usando a divisão sintética, obtemos:
Portanto, agora temos:
Passo 5
Vamos resolver a equação cúbica
. Novamente, testando possíveis raízes racionais, descobrimos que
também é uma raiz dessa equação. Assim, podemos fatorar mais uma vez:
Passo 6
Agora, temos a equação característica totalmente fatorada:
As raízes são:
-
com multiplicidade 2 - As raízes da equação quadrática
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são complexas:
e
.
Passo 8
Com todas as raízes encontradas, podemos montar a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais repetidas, usamos termos como
. Para raízes complexas, usamos termos na forma
, onde
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.
Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
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Encontre
quando
,
.