Resolva as seguintes equações diferenciais

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de EDOs lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como montar e resolver a equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma EDO linear de ordem 4 como essa, substituímos por , resultando na equação polinomial:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação polinomial para encontrar os valores de . Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos sugere testar divisores de 32. Testando, descobrimos que é uma raiz, pois:

Passo 4

Com a raiz encontrada, podemos fatorar a equação polinomial dividindo por . Usando a divisão sintética, obtemos:
Portanto, agora temos:

Passo 5

Vamos resolver a equação cúbica . Novamente, testando possíveis raízes racionais, descobrimos que também é uma raiz dessa equação. Assim, podemos fatorar mais uma vez:

Passo 6

Agora, temos a equação característica totalmente fatorada:
As raízes são:
  • com multiplicidade 2
  • As raízes da equação quadrática

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são complexas: e .

Passo 8

Com todas as raízes encontradas, podemos montar a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais repetidas, usamos termos como . Para raízes complexas, usamos termos na forma , onde e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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