Encontre partial z / partial u quando u=0, v=1 se z=sen x y+x sen y, x=u^2+v^2, y=t u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada parcial de z = sin(xy) + x sin(y) em relação a x = u^2 + v^2 , ou seja, y = t cdot u , quando e . A função que temos é:
E as variáveis e são dadas por:
Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais necessárias. Precisamos calcular partial zpartial x = y cos(xy) + sin(y) e partial zpartial y = x cos(xy) + x cos(y) .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar partial xpartial u = 2u e partial ypartial u = t em relação a :
Derivada de em relação a :
Derivada de em relação a :

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada parcial de partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u em relaç��o a é:

Passo 5

Vamos agora substituir x = (0)^2 + (1)^2 = 1 e y = t cdot 0 = 0 nas expressões de e :

Passo 6

Substituindo partial zpartial x = 0 cdot cos(1 cdot 0) + sin(0) = 0 + 0 = 0 e partial zpartial y = 1 cdot cos(1 cdot 0) + 1 cdot cos(0) = 1 cdot 1 + 1 cdot 1 = 2 nas derivadas parciais de :

Passo 7

Agora, substituindo esses valores na expressão da derivada:
partial zpartial u = 0 cdot 0 + 2 cdot t = 2t

Resposta

partial zpartial u = 2t

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