Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação . Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e o método do fator integrante para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, identifique a equação diferencial. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: . No nosso caso, rearrumando a equação:
Podemos ver que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ), que é essencial para resolver a equação. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade de que .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Vamos integrar o lado direito:
  • Para , usamos integração por partes:
    Seja e . Então, e .
    Aplicando a fórmula:
  • Para :
Então, juntando tudo:

Passo 6

Agora, resolvemos para , multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.
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