Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e o método do fator integrante para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, identifique a equação diferencial. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
. No nosso caso, rearrumando a equação:
Podemos ver que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
), que é essencial para resolver a equação. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade de que
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Vamos integrar o lado direito:
- Para
, usamos integração por partes:
Sejae . Então, e .
Aplicando a fórmula: - Para
:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Agora, resolvemos para
, multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.
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