Mostre que se b ≥ 2 então toda solução da equação diferencial y'' + b y' + y = 0 se aproxima de zero quando x -> infinito. Grafique a solução para diferentes valores de b nessa faixa de valores. [ Resp: Observe que y(x) = c1 * e^((-b + raiz(b^2 - 4)) / 2 * x) + c2 * e^((-b - raiz(b^2 - 4)) / 2 * x) ].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, quando , toda solução da equação diferencial se aproxima de zero conforme vai para o infinito. Além disso, também devemos fazer um gráfico das soluções para diferentes valores de nessa faixa. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e entender como as raízes da equação característica influenciam o comportamento das soluções.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação diferencial dada é de segunda ordem e com coeficientes constantes. A forma geral é , onde neste caso e . Para resolver, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 3

A equação característica para nossa equação diferencial é dada por:
Resolvendo essa equação quadrática para , usamos a fórmula de Bhaskara:
As raízes determinam o comportamento da solução. Sabemos que , então , garantindo que as raízes são reais.

Passo 4

Com as raízes reais, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 5

Observando os expoentes nas soluções, ambos contêm o termo . Como , esse termo é negativo, o que significa que os termos exponenciais decrescem à medida que aumenta. Portanto, conforme tende ao infinito, ambas as partes da solução tendem a zero.

Resposta

Para , toda solução da equação diferencial é dada por:
E essas soluções se aproximam de zero quando .

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