Mostre que se yp(x) é uma solução particular da equação linear não homogênea y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x), então a solução geral para esta equação é dada por: z(x) = yp(x) + alpha1 * y1(x) + alpha2 * y2(x) onde y1(x), y2(x) são duas soluções fundamentais da equação diferencial linear homogênea associada: y'' + p(x) y' + q(x) y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, se é uma solução particular da equação diferencial linear não homogênea , então a solução geral dessa equação pode ser escrita como . Aqui, e são soluções fundamentais da equação homogênea associada . Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares, soluções homogêneas e não homogêneas, e combinações lineares dessas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear homogênea é aquela onde o lado direito é zero, ou seja, . As soluções dessa equação formam um espaço vetorial, e as soluções fundamentais e são duas soluções linearmente independentes que geram todas as outras soluções homogêneas através de combinações lineares.

Passo 3

Agora, quando temos uma equação diferencial linear não homogênea como , uma solução particular é uma solução específica que satisfaz a equação inteira, ou seja, substituindo na equação resulta em uma igualdade verdadeira.

Passo 4

A grande sacada aqui é que a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução particular com a solução geral da equação homogênea. Isso acontece porque, se satisfaz a equação não homogênea e satisfaz a equação homogênea, então satisfaz a equação não homogênea também.

Passo 5

Vamos provar isso. Substituindo na equação não homogênea:
Como é solução particular, . E como e são soluções da equação homogênea, e o mesmo para .

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão acima:
Ou seja, satisfaz a equação não homogênea .

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial linear não homogênea é:
onde é uma solução particular e , são soluções fundamentais da equação homogênea associada.

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