Mostre que se
é uma solução particular da equação linear não homogênea
, então a solução geral para esta equação é dada por:
onde
,
são duas soluções fundamentais da equação diferencial linear homogênea associada:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa mostrar que, se
é uma solução particular da equação diferencial linear não homogênea
, então a solução geral dessa equação pode ser escrita como
. Aqui,
e
são soluções fundamentais da equação homogênea associada
. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares, soluções homogêneas e não homogêneas, e combinações lineares dessas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear homogênea é aquela onde o lado direito é zero, ou seja,
. As soluções dessa equação formam um espaço vetorial, e as soluções fundamentais
e
são duas soluções linearmente independentes que geram todas as outras soluções homogêneas através de combinações lineares.
Passo 3
Agora, quando temos uma equação diferencial linear não homogênea como
, uma solução particular
é uma solução específica que satisfaz a equação inteira, ou seja, substituindo
na equação resulta em uma igualdade verdadeira.
Passo 4
A grande sacada aqui é que a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução particular com a solução geral da equação homogênea. Isso acontece porque, se
satisfaz a equação não homogênea e
satisfaz a equação homogênea, então
satisfaz a equação não homogênea também.
Passo 5
Vamos provar isso. Substituindo
na equação não homogênea:
Como
é solução particular,
. E como
e
são soluções da equação homogênea,
e o mesmo para
.
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão acima:
Ou seja,
satisfaz a equação não homogênea
.
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial linear não homogênea
é:
onde
é uma solução particular e
,
são soluções fundamentais da equação homogênea associada.