(a) Encontre a solução geral da e.d.o não homogênea . (Resp: .)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial do segundo grau não homogênea: . Além disso, temos as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como resolver equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da parte homogênea e depois achar uma solução particular para a não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, a gente encontra as raízes da equação característica associada. A equação característica é:
Resolvendo a equação quadrática, temos:
Esse resultado nos diz que temos uma raiz dupla .
Passo 3
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da parte homogênea será:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular () para a equação não homogênea . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, nossa tentativa para também será um polinômio de segundo grau:
Vamos derivar :
Passo 5
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
De ,
⇒ ,
⇒ ⇒ .
Então, a solução particular é:
Passo 6
Agora, juntamos a solução homogênea () com a solução particular () para obter a solução geral da equação não homogênea:
Passo 7
Por fim, aplicamos as condições iniciais e para encontrar os valores das constantes e .