(a) Encontre a solução geral da e.d.o não homogênea y'' + 2y' + y = x^2, y(0) = 0, y'(0) = 0. (Resp: y_GNH(x) = y_GH + y_p ; y_GH = c_1 e^(-x) + c_2 x e^(-x), y_p = x^2 - 4 x + 6.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial do segundo grau não homogênea: . Além disso, temos as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como resolver equações diferenciais lineares, encontrar a solução geral da parte homogênea e depois achar uma solução particular para a não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, a gente encontra as raízes da equação característica associada. A equação característica é:
Resolvendo a equação quadrática, temos:
Esse resultado nos diz que temos uma raiz dupla .

Passo 3

Como temos uma raiz dupla , a solução geral da parte homogênea será:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, nossa tentativa para também será um polinômio de segundo grau:
Vamos derivar :

Passo 5

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
  1. De ,
  2. ,
  3. .
Então, a solução particular é:

Passo 6

Agora, juntamos a solução homogênea ( ) com a solução particular ( ) para obter a solução geral da equação não homogênea:

Passo 7

Por fim, aplicamos as condições iniciais e para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Aplicando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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