Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
y'' + 4y = x^2 cos(x). (Resp: y = c1 sen(2x) + c2 cos(2x) + (x^2 / 3 - 14 / 27) x + 4 / 9 x sen(x) ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que estamos enfrentando aqui. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea: . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular. Para isso, vamos precisar resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução específica que atenda à equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente assume soluções da forma e substitui na equação:
Dividindo por (que nunca é zero):
Resolvendo para :

Passo 3

Como as raízes são complexas e conjugadas ( ) com e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Observamos que o lado direito da equação é , o que sugere que a solução particular terá termos envolvendo e , possivelmente multiplicados por polinômios em .

Passo 5

Vamos propor uma forma para . Dado que o lado direito é , assumimos:
onde são coeficientes a serem determinados.

Passo 6

Calculamos as derivadas necessárias de :
Primeira derivada :
Segunda derivada :
Após calcular e simplificar, substituímos , e na equação original .

Passo 7

Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação para encontrar os valores de . Resolvendo o sistema de equações resultante, determinamos esses coeficientes.

Passo 8

Depois de achar os coeficientes, substituímos de volta na nossa hipótese para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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