Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
. (Resp:
).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que estamos enfrentando aqui. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea:
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular. Para isso, vamos precisar resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução específica que atenda à equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente assume soluções da forma
e substitui na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvendo para
:
Passo 3
Como as raízes são complexas e conjugadas (
) com
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método dos coeficientes indeterminados. Observamos que o lado direito da equação é
, o que sugere que a solução particular terá termos envolvendo
e
, possivelmente multiplicados por polinômios em
.
Passo 5
Vamos propor uma forma para
. Dado que o lado direito é
, assumimos:
onde
são coeficientes a serem determinados.
Passo 6
Calculamos as derivadas necessárias de
:
Primeira derivada
:
Segunda derivada
:
Após calcular e simplificar, substituímos
,
e
na equação original
.
Passo 7
Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação para encontrar os valores de
. Resolvendo o sistema de equações resultante, determinamos esses coeficientes.
Passo 8
Depois de achar os coeficientes, substituímos de volta na nossa hipótese para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: