Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de primeira ordem:
Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
A equação diferencial está na forma padrão:
onde:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante
, que nos ajudará a simplificar a equação.
Passo 3
O fator integrante é dado por:
Vamos calcular esse fator:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que permite escrever o lado esquerdo como a derivada de
.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo é direta:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição. Seja:
No entanto, temos apenas um
na frente do expoente. Vamos ajustar a integral:
Agora, para facilitar, sabemos que a derivada de
é:
Podemos usar essa informação para resolver a integral.
Passo 7
Vamos reescrever a integral:
Mas isso ainda é complicado. Em vez disso, observamos que:
Isso nos permite separar a integral:
Após simplificações, obtemos:
Passo 8
Voltando à equação original integrada:
Simplificando:
Passo 9
Agora, isolamos
:
Simplificando ainda mais:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Use o exercício anterior para encontrar a solução geral das equações:
.
[Resp: (a) Eq. indicial: , raizes da equação indicial repetidas
logo
, formam um conjunto fundamental de soluções para
e portanto a solução geral é
.
(b) Eq. indicial: , raizes da equação indicial complexas
,
, formam um conjunto fundamental de soluções para
e portanto a solução geral é
.
© Eq. indicial: , raizes da equação indicial reais distintas
logo
, formam um conjunto fundamental de soluções para
e portanto a solução geral é
.]
[Resp: (a) Eq. indicial:
(b) Eq. indicial:
© Eq. indicial:
Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
. (Resp:
).
Resolva a equação diferencia:
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo: