Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
d y/d t + (1 - 2 t) y = t e^(-1) y(0) = 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de primeira ordem:
Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

A equação diferencial está na forma padrão:
onde:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante , que nos ajudará a simplificar a equação.

Passo 3

O fator integrante é dado por:
Vamos calcular esse fator:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que permite escrever o lado esquerdo como a derivada de .

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo é direta:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição. Seja:
No entanto, temos apenas um na frente do expoente. Vamos ajustar a integral:
Agora, para facilitar, sabemos que a derivada de é:
Podemos usar essa informação para resolver a integral.

Passo 7

Vamos reescrever a integral:
Mas isso ainda é complicado. Em vez disso, observamos que:
Isso nos permite separar a integral:
Após simplificações, obtemos:

Passo 8

Voltando à equação original integrada:
Simplificando:

Passo 9

Agora, isolamos :
Simplificando ainda mais:

Passo 10

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Use o exercício anterior para encontrar a solução geral das equações:
x^2 y'' + 4 x y' + 2 y = 0.
[Resp: (a) Eq. indicial: r^2 - 4r + 4 = 0, raizes da equação indicial repetidas r1 = r2 = 2 logo y1(x) = x^2, y2(x) = x^2 ln x, formam um conjunto fundamental de soluções para x > 0 e portanto a solução geral é ygh = c1 * x^2 + c2 * x^2 * ln(x).
(b) Eq. indicial: r^2 + 2*r + 5 = 0, raizes da equação indicial complexas r1 = -1 + 2i, r2 = -1 - 2i logo y1(x) = x^(-1) cos(2 ln x), y2(x) = x^(-1) * sen(2 * ln(x)), formam um conjunto fundamental de soluções para x > 0 e portanto a solução geral é ygh = c1 * (1/x) * cos(2 * ln(x)) + c2 * (1/x) * sen(2 * ln(x)).
© Eq. indicial: r^2 + 3r + 2 = 0, raizes da equação indicial reais distintas r1 = -1, r2 = -2 logo y1(x) = x^(-1), y2(x) = x^(-2), formam um conjunto fundamental de soluções para x > 0 e portanto a solução geral é ygh = c1 / x + c2 / x^2.]
Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
y'' + 4y = x^2 cos(x). (Resp: y = c1 sen(2x) + c2 cos(2x) + (x^2 / 3 - 14 / 27) x + 4 / 9 x sen(x) ).
Resolva a equação diferencia:
dy/dt = sen(2t)
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
d y/d t - 2 t y = t y(0) = 1