Use o exercício anterior para encontrar a solução geral das equações:
.
[Resp: (a) Eq. indicial:
, raizes da equação indicial repetidas
logo
, formam um conjunto fundamental de soluções para
e portanto a solução geral é
.
(b) Eq. indicial:
, raizes da equação indicial complexas
,
, formam um conjunto fundamental de soluções para
e portanto a solução geral é
.
© Eq. indicial:
, raizes da equação indicial reais distintas
logo
, formam um conjunto fundamental de soluções para
e portanto a solução geral é
.]
[Resp: (a) Eq. indicial:
(b) Eq. indicial:
© Eq. indicial:
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender qual é a questão. Temos a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
Essa é uma equação diferencial de Euler ou equação equidimensional. Para resolver esse tipo de equação, usamos um método específico que envolve encontrar as raízes da equação indicial. Com essas raízes, construímos a solução geral da equação.
Passo 2
O primeiro passo é assumir que a solução tem a forma:
Onde
é um número que precisamos determinar. Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 4
Fatoramos
comum em todos os termos:
Como
nunca é zero para
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação indicial:
Podemos fatorar essa equação:
Assim, as raízes são:
Passo 6
Como as raízes são reais e distintas, as soluções fundamentais são:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
. (Resp:
).
Resolva os problemas de valor inicial:
Resp:
.
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
Resolva a equação diferencia: