Use o exercício anterior para encontrar a solução geral das equações:
x^2 y'' + 4 x y' + 2 y = 0.
[Resp: (a) Eq. indicial: r^2 - 4r + 4 = 0, raizes da equação indicial repetidas r1 = r2 = 2 logo y1(x) = x^2, y2(x) = x^2 ln x, formam um conjunto fundamental de soluções para x > 0 e portanto a solução geral é ygh = c1 * x^2 + c2 * x^2 * ln(x).
(b) Eq. indicial: r^2 + 2*r + 5 = 0, raizes da equação indicial complexas r1 = -1 + 2i, r2 = -1 - 2i logo y1(x) = x^(-1) cos(2 ln x), y2(x) = x^(-1) * sen(2 * ln(x)), formam um conjunto fundamental de soluções para x > 0 e portanto a solução geral é ygh = c1 * (1/x) * cos(2 * ln(x)) + c2 * (1/x) * sen(2 * ln(x)).
© Eq. indicial: r^2 + 3r + 2 = 0, raizes da equação indicial reais distintas r1 = -1, r2 = -2 logo y1(x) = x^(-1), y2(x) = x^(-2), formam um conjunto fundamental de soluções para x > 0 e portanto a solução geral é ygh = c1 / x + c2 / x^2.]

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender qual é a questão. Temos a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
Essa é uma equação diferencial de Euler ou equação equidimensional. Para resolver esse tipo de equação, usamos um método específico que envolve encontrar as raízes da equação indicial. Com essas raízes, construímos a solução geral da equação.

Passo 2

O primeiro passo é assumir que a solução tem a forma:
Onde é um número que precisamos determinar. Vamos calcular as derivadas de :

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 4

Fatoramos comum em todos os termos:
Como nunca é zero para , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 5

Agora, resolvemos a equação indicial:
Podemos fatorar essa equação:
Assim, as raízes são:

Passo 6

Como as raízes são reais e distintas, as soluções fundamentais são:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das e.d.o. de segunda ordem a coeficientes constantes não homogêneas (Use o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular):
y'' + 4y = x^2 cos(x). (Resp: y = c1 sen(2x) + c2 cos(2x) + (x^2 / 3 - 14 / 27) x + 4 / 9 x sen(x) ).
Resolva os problemas de valor inicial:
y'' + 9y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1 Resp: y(x) = (1 / 3) sen(3 x).
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
d y/d t + (1 - 2 t) y = t e^(-1) y(0) = 2
Resolva a equação diferencia:
dy/dt = sen(2t)