O volume típico de sangue no corpo humano é cerca de 5 L . Certa porcentagem desse volume (chamada de hematócrito) consiste de células vermelhas do sangue (CVS); tipicamente, o hematócrito é de cerca de 45% nos homens. Suponha que uma cirurgia leve 4 horas e que um paciente do sexo masculino perca cerca 2,5 L de sangue. Durante a cirurgia, o volume de sangue do paciente é mantido em 5 L pela injeção de uma solução salina, que se mistura rapidamente com o sangue, mas o dilui, de modo que o hematócrito diminui à medida que o tempo passa. Supondo que a taxa de perda de CVS seja proporcional ao volume de CVS, determine o volume de CVS do paciente no final da operação.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um paciente masculino que perde 2,5 litros de sangue durante uma cirurgia de 4 horas. O volume total de sangue no corpo dele é mantido em 5 litros com solução salina, o que dilui o sangue e diminui o hematócrito (a porcentagem de células vermelhas no sangue) de 45% para um valor menor no final da operação. Precisamos descobrir quanto de células vermelhas (CVS) restam no final da cirurgia. Para resolver isso, vamos usar conceitos de proporção e taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o hematócrito. O hematócrito é a porcentagem do volume de sangue que é composta por células vermelhas. No caso, inicialmente, 45% dos 5 litros de sangue são células vermelhas. Vamos calcular quanto isso representa em litros:

Passo 3

Durante a cirurgia, o paciente perde 2,5 litros de sangue, mas esse volume é mantido com a injeção de solução salina. A solução salina não contém células vermelhas, então a proporção de CVS diminui ao longo do tempo. A taxa de perda de CVS é proporcional ao volume de CVS presente. Isso significa que a quantidade de CVS que sai por hora depende de quanto CVS ainda temos.

Passo 4

Vamos modelar isso com uma equação diferencial. Seja o volume de CVS no tempo . A taxa de mudança de é proporcional a , ou seja:
Onde é a constante de proporcionalidade. Para resolver essa equação, separamos as variáveis e integramos:
Agora, precisamos encontrar o valor de . Sabemos que após 4 horas, o volume total de sangue permanece 5 litros, mas o volume de CVS diminui. Sabemos que 2,5 litros foram perdidos, então o novo volume de CVS será Porém, precisamos calcular corretamente considerando a perda proporcional.

Passo 5

Vamos considerar que a taxa de perda de CVS é proporcional ao volume atual de CVS. Com isso, usamos a solução da equação diferencial:
Mas também sabemos que durante as 4 horas, foram injetados 2,5 litros de solução salina, que diluíram o sangue. Então, após 4 horas, o volume de CVS será reduzido devido à diluição. Precisamos relacionar isso para encontrar .

Passo 6

Vamos assumir que a diluição ocorre de forma que todo o sangue perdido é substituído por solução salina sem CVS. Então, a taxa de perda de CVS é:
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos na equação de :
Calculando :

Resposta

O volume de células vermelhas do sangue (CVS) do paciente no final da operação é aproximadamente 1,51 litros.

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