O volume típico de sangue no corpo humano é cerca de 5 L . Certa porcentagem desse volume (chamada de hematócrito) consiste de células vermelhas do sangue (CVS); tipicamente, o hematócrito é de cerca de
nos homens. Suponha que uma cirurgia leve 4 horas e que um paciente do sexo masculino perca cerca
de sangue. Durante a cirurgia, o volume de sangue do paciente é mantido em 5 L pela injeção de uma solução salina, que se mistura rapidamente com o sangue, mas o dilui, de modo que o hematócrito diminui à medida que o tempo passa. Supondo que a taxa de perda de CVS seja proporcional ao volume de CVS, determine o volume de CVS do paciente no final da operação.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um paciente masculino que perde 2,5 litros de sangue durante uma cirurgia de 4 horas. O volume total de sangue no corpo dele é mantido em 5 litros com solução salina, o que dilui o sangue e diminui o hematócrito (a porcentagem de células vermelhas no sangue) de 45% para um valor menor no final da operação. Precisamos descobrir quanto de células vermelhas (CVS) restam no final da cirurgia. Para resolver isso, vamos usar conceitos de proporção e taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o hematócrito. O hematócrito é a porcentagem do volume de sangue que é composta por células vermelhas. No caso, inicialmente, 45% dos 5 litros de sangue são células vermelhas. Vamos calcular quanto isso representa em litros:
Passo 3
Durante a cirurgia, o paciente perde 2,5 litros de sangue, mas esse volume é mantido com a injeção de solução salina. A solução salina não contém células vermelhas, então a proporção de CVS diminui ao longo do tempo. A taxa de perda de CVS é proporcional ao volume de CVS presente. Isso significa que a quantidade de CVS que sai por hora depende de quanto CVS ainda temos.
Passo 4
Vamos modelar isso com uma equação diferencial. Seja
o volume de CVS no tempo
. A taxa de mudança de
é proporcional a
, ou seja:
Onde
é a constante de proporcionalidade. Para resolver essa equação, separamos as variáveis e integramos:
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Sabemos que após 4 horas, o volume total de sangue permanece 5 litros, mas o volume de CVS diminui. Sabemos que 2,5 litros foram perdidos, então o novo volume de CVS será
Porém, precisamos calcular corretamente considerando a perda proporcional.
Passo 5
Vamos considerar que a taxa de perda de CVS é proporcional ao volume atual de CVS. Com isso, usamos a solução da equação diferencial:
Mas também sabemos que durante as 4 horas, foram injetados 2,5 litros de solução salina, que diluíram o sangue. Então, após 4 horas, o volume de CVS será reduzido devido à diluição. Precisamos relacionar isso para encontrar
.
Passo 6
Vamos assumir que a diluição ocorre de forma que todo o sangue perdido é substituído por solução salina sem CVS. Então, a taxa de perda de CVS é:
Então,
.
Passo 7
Agora, substituímos
na equação de
:
Calculando
:
Resposta
O volume de células vermelhas do sangue (CVS) do paciente no final da operação é aproximadamente 1,51 litros.
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Calcule as integrais definidas.
Determine a solução geral e singular da equação de Clairouts
. Resp.: Sol. Geral:
; Sol. Singular:
Sejam as funções reais,
definidas para todo
e
, definida para todo
e
. Calcule
.
Seja a função
definida por
. Qual o valor do domínio de
com imagem 5 .