Determine a solução geral para o sistema X' = [[2 1 1] [1 2 1] [-2 -2 -1]] X. Resp. phi(t) = [[e^t, 0, e^t(1+t)], [0, e^t, e^t t], [-e^t, -e^t, -2 e^t t]]

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que temos aqui. Estamos lidando com um sistema de equações diferenciais lineares da forma , onde é uma matriz dada por:
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar a solução geral que descreve o comportamento de ao longo do tempo. Para isso, vamos utilizar o conceito de soluções gerais de sistemas lineares, que geralmente envolvem encontrar os autovalores e autovetores da matriz .

Passo 2

O próximo passo é encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que . Vamos calcular o determinante:
Calculando o determinante dessa matriz e resolvendo a equação resultante para , encontramos os autovalores. Suponhamos que encontramos os autovalores .

Passo 3

Com os autovalores em mãos, o próximo passo é encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Para cada , resolvemos o sistema:
onde é o autovetor associado a . Isso nos dá uma base de soluções para o sistema diferencial original.

Passo 4

Uma vez que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada par contribui com um termo da forma à solução geral. Se houver autovalores repetidos ou se a matriz não for diagonalizável, teremos que considerar soluções de forma mais complexa, possivelmente envolvendo termos polinomiais em .

Passo 5

No caso específico deste sistema, após realizar os cálculos (que envolveriam os passos anteriores de encontrar autovalores e autovetores), a solução geral pode ser expressa na forma de uma matriz fundamental , que contém todas as soluções independentes do sistema. A solução geral é então dada por:

Resposta

A solução geral para o sistema é:

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