Determine a solução geral dos sistemas de equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um sistema de equações diferenciais. O exercício que você me enviou é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais na forma matricial. Isso significa representar as derivadas das funções
e
como uma matriz multiplicada pelos próprios
e
. Ficaria assim:
onde
e
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
O determinante dessa matriz é:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Substituímos
na equação
:
[
]
Isso nos dá as equações:
Resolvente, temos
. Podemos escolher
, então
.
Para
:
[
]
Isso nos dá:
Simplificando, temos
, então
. Escolhendo
, o autovetor é
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor:
Substituindo os valores que encontramos:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral do sistema é:
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, em que
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Resolva os problemas de valor inicial:
, em que