Explique, usando os Teoremas 1 a 5 acima, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar por que a função
é contínua em todo o seu domínio e também identificar qual é esse domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como determinar o domínio de uma função. Vamos usar os teoremas de continuidade que a gente aprendeu (Teoremas 1 a 5) para ajudar nessa explicação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios), a função não está definida quando o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Passo 3
Para resolver essa equação quadrática, vamos fatorar o polinômio:
Agora, igualamos cada fator a zero:
Passo 4
Isso significa que quando
ou
, o denominador fica zero, o que torna a função indefinida nesses pontos. Portanto, o domínio da função
é todos os números reais exceto
e
.
Então, o domínio é:
Passo 5
Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “buracos” no gráfico naquele ponto. Para funções racionais como
, elas são contínuas em todos os pontos do seu domínio, porque não há interrupções além daqueles pontos onde o denominador é zero (que já excluímos do domínio).
Segundo os Teoremas de Continuidade (Teoremas 1 a 5), operações como divisão de polinômios são contínuas onde o denominador não é zero. Como já garantimos que
e
, podemos afirmar que
é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é contínua para todos os números reais exceto
e
. Portanto, seu domínio é
.
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, em que
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