Explique, usando os Teoremas 1 a 5 acima, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
F(x) = x / (x^2 + 5x + 6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar por que a função é contínua em todo o seu domínio e também identificar qual é esse domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como determinar o domínio de uma função. Vamos usar os teoremas de continuidade que a gente aprendeu (Teoremas 1 a 5) para ajudar nessa explicação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios), a função não está definida quando o denominador é zero, porque não podemos dividir por zero.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:

Passo 3

Para resolver essa equação quadrática, vamos fatorar o polinômio:
Agora, igualamos cada fator a zero:

Passo 4

Isso significa que quando ou , o denominador fica zero, o que torna a função indefinida nesses pontos. Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto e .
Então, o domínio é:

Passo 5

Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não há “saltos” ou “buracos” no gráfico naquele ponto. Para funções racionais como , elas são contínuas em todos os pontos do seu domínio, porque não há interrupções além daqueles pontos onde o denominador é zero (que já excluímos do domínio).
Segundo os Teoremas de Continuidade (Teoremas 1 a 5), operações como divisão de polinômios são contínuas onde o denominador não é zero. Como já garantimos que e , podemos afirmar que é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A função é contínua para todos os números reais exceto e . Portanto, seu domínio é .

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