Resolva os problemas de valor inicial:
, em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial de segunda ordem
, com as condições iniciais
e
. O que a gente vai usar aqui é o método de equações diferenciais lineares com função forçada. A função
muda dependendo do intervalo de
, então vamos resolver em partes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
. Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as raízes da equação característica:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como
é
para
e 0 para
, vamos tratar esses dois casos separadamente.
Para
:
A gente tenta uma solução particular da forma
. Vamos derivar e substituir na equação:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Juntando a solução homogênea e a particular, temos a solução geral para
:
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
.
Para
:
Derivando
:
Para
:
Assim, a solução para
é:
Passo 5
Para
, a função
, então a equação diferencial fica homogênea:
A solução geral é novamente da forma:
Precisamos garantir que a solução seja contínua e diferenciável em
. Então, calculamos
e
da solução anterior:
Portanto, para
:
Resposta
Portanto, a solução completa do problema de valor inicial é:
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