Determine a solução geral dos sistemas de equações diferenciais:

Passo 1

Vamos resolver o primeiro sistema de equações diferenciais. Esse tipo de problema pertence ao estudo de sistemas lineares de equações diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial:

[



]

Passo 3

Agora, encontramos os autovalores resolvendo o determinante da matriz :
Calculando o determinante:

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente.
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso resulta em . Escolhemos .
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso resulta em . Escolhemos .

Passo 6

A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:

Passo 7

Agora, vamos resolver o segundo sistema de equações diferenciais. Esse sistema também é linear com coeficientes constantes, mas é de ordem superior. Para resolver, vamos usar o mesmo método de encontrar autovalores e autovetores, mas em espaços de dimensão maior.

Passo 8

Escrevemos o segundo sistema na forma matricial:

[



]

Passo 9

Encontramos os autovalores resolvendo o determinante da matriz :
Como a matriz é triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos diagonais:
Calculando o determinante interno:
Então, a equação característica completa é:

Passo 10

Resolvendo a equação característica:
Portanto, os autovalores são , , e .

Passo 11

Encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :

[


]
Das primeiras duas equações, temos , ou seja, . A terceira equação confirma . Escolhemos , então , e pode ser livre. Escolhemos .
Para :
Resolvemos :

[


]
Da segunda equação: .
Da terceira equação: , confirma .
Da primeira equação: .
Escolhemos , então .
Para :
Resolvemos :

[


]
Das duas últimas equações: . Da primeira equação: .
Escolhemos , então .

Passo 12

A solução geral do segundo sistema é a combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:

Resposta

A solução geral do segundo sistema é:

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