Determine a solução geral dos sistemas de equações diferenciais:
Passo 1
Vamos resolver o primeiro sistema de equações diferenciais. Esse tipo de problema pertence ao estudo de sistemas lineares de equações diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial:
[
]
Passo 3
Agora, encontramos os autovalores resolvendo o determinante da matriz :
Calculando o determinante:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Então, os autovalores são e .
Passo 5
Para cada autovalor, encontramos o autovetor correspondente.
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso resulta em . Escolhemos .
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso resulta em . Escolhemos .
Passo 6
A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
Passo 7
Agora, vamos resolver o segundo sistema de equações diferenciais. Esse sistema também é linear com coeficientes constantes, mas é de ordem superior. Para resolver, vamos usar o mesmo método de encontrar autovalores e autovetores, mas em espaços de dimensão maior.
Passo 8
Escrevemos o segundo sistema na forma matricial:
[
]
Passo 9
Encontramos os autovalores resolvendo o determinante da matriz :
Como a matriz é triangular inferior, o determinante é o produto dos elementos diagonais:
Calculando o determinante interno:
Então, a equação característica completa é:
Passo 10
Resolvendo a equação característica:
Portanto, os autovalores são , , e .
Passo 11
Encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Das primeiras duas equações, temos , ou seja, . A terceira equação confirma . Escolhemos , então , e pode ser livre. Escolhemos .
Para :
Resolvemos :
[
]
Da segunda equação: .
Da terceira equação: , confirma .
Da primeira equação: .
Escolhemos , então .
Para :
Resolvemos :
[
]
Das duas últimas equações: . Da primeira equação: .
Escolhemos , então .
Passo 12
A solução geral do segundo sistema é a combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor: