Nos Problemas 1 a 18, calcule a derivada da função dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo de derivadas. A função que precisamos derivar é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto, que é uma técnica de derivação usada quando temos o produto de duas funções. Então, vamos passo a passo entender como aplicar essa regra para encontrar a derivada de y em relação a u.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas dentro da expressão:
  • f(u) = 3u + 1
  • g(u) = 1 - 5u
A regra do produto nos diz que a derivada de y = f(u) * g(u) é:
Ou seja, a derivada de y é igual à derivada de f(u) multiplicada por g(u) mais f(u) multiplicada pela derivada de g(u).

Passo 3

Vamos calcular agora as derivadas das funções f(u) e g(u) separadamente.
Para f(u) = 3u + 1:
  • A derivada de 3u é 3.
  • A derivada de 1 é 0.
  • Então, f’(u) = 3 + 0 = 3.
Para g(u) = 1 - 5u:
  • A derivada de 1 é 0.
  • A derivada de -5u é -5.
  • Então, g’(u) = 0 - 5 = -5.

Passo 4

Agora que temos as derivadas de f(u) e g(u), vamos aplicar a regra do produto:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
  1. Multiplicando 3 por (1 - 5u):
Então, 3 \cdot (1 - 5u) = 3 - 15u.
  1. Multiplicando (3u + 1) por -5:
Então, (3u + 1) \cdot (-5) = -15u - 5.

Passo 6

Agora, juntando tudo:
Podemos reorganizar para deixar mais claro:

Resposta

A derivada da função é:

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(a)
(b)
c)
Nos Problemas 1 a 18, calcule a derivada da função dada.