Nos Problemas 1 a 18, calcule a derivada da função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo de derivadas. A função que precisamos derivar é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto, que é uma técnica de derivação usada quando temos o produto de duas funções. Então, vamos passo a passo entender como aplicar essa regra para encontrar a derivada de y em relação a u.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas dentro da expressão:
- f(u) = 3u + 1
- g(u) = 1 - 5u
A regra do produto nos diz que a derivada de y = f(u) * g(u) é:
Ou seja, a derivada de y é igual à derivada de f(u) multiplicada por g(u) mais f(u) multiplicada pela derivada de g(u).
Passo 3
Vamos calcular agora as derivadas das funções f(u) e g(u) separadamente.
Para f(u) = 3u + 1:
- A derivada de 3u é 3.
- A derivada de 1 é 0.
- Então, f’(u) = 3 + 0 = 3.
Para g(u) = 1 - 5u:
- A derivada de 1 é 0.
- A derivada de -5u é -5.
- Então, g’(u) = 0 - 5 = -5.
Passo 4
Agora que temos as derivadas de f(u) e g(u), vamos aplicar a regra do produto:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
- Multiplicando 3 por (1 - 5u):
Então, 3 \cdot (1 - 5u) = 3 - 15u.
- Multiplicando (3u + 1) por -5:
Então, (3u + 1) \cdot (-5) = -15u - 5.
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Podemos reorganizar para deixar mais claro:
Resposta
A derivada da função é: