Resolva as EDOs a seguir, , onde .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A equação que precisamos resolver é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Estamos trabalhando com . Para resolver essa EDO, vamos usar o conceito de equações exatas, que nos ajuda a encontrar uma função que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Ela está na forma padrão , onde:
O próximo passo é verificar se essa equação é exata. Uma EDO é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais:
Vemos que:
Como as derivadas são iguais, a equação é de fato exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Agora, vamos encontrar essa função . Para isso, vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 5

Para descobrir , vamos derivar em relação a e igualar à :
Simplificando, temos:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, juntando tudo, a função fica:
A solução geral da EDO é quando é igual a uma constante. Então:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

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