Resolva as EDOs a seguir,
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A equação que precisamos resolver é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Estamos trabalhando com
. Para resolver essa EDO, vamos usar o conceito de equações exatas, que nos ajuda a encontrar uma função que satisfaça essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Ela está na forma padrão
, onde:
O próximo passo é verificar se essa equação é exata. Uma EDO é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Vemos que:
Como as derivadas são iguais, a equação é de fato exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar essa função
. Para isso, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Para descobrir
, vamos derivar
em relação a
e igualar à
:
Simplificando, temos:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a função
fica:
A solução geral da EDO é quando
é igual a uma constante. Então:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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